雑談系ブログのストックが尽きました！
日常に彩りが不足しているのかも・・・？ということで、
アンテナを張りつつ日頃の「なぜ？」を掘り下げていきたいですね。
余談はさておき、今回はちょっと趣向の違う論理クイズ！
問題
ある国には3人の囚人（A・B・C）がいる。
王は3人のうち1人だけを無作為に解放し、他の2人は処刑すると発表した。
誰が助かるかはすでに決まっているが、囚人たちには知らされていない。
囚人Aは見回り中の看守を捕まえて、
「BかCのうちどちらか1人が処刑されると教えてほしい」と頼みます。
看守は「Bが処刑される予定だ」と答えました。
(看守は誰が解放されるか知っているため、これは真実)
それを聞いたAはこう言って喜ぶ。
「最初は助かる確率が1/3だったが、Bが処刑されるとわかった今、
私かCが助かるということになった。つまり、助かる確率は1/2に上がった！」
さて、囚人Aのこの考え方は正しいでしょうか？
・
・
・
解説
果たしてＡの生き延びる確率は上がったのか？
ということで、場合分けして考えていきしょう！
Aが助かる(＝確率1/3)
→ 看守はＢかＣのどちらでも自由に名前を言える
→ Bと言う確率は1/2
Bが助かる(＝確率1/3)
→ 看守は「Cが処刑される」としか言えない
→ Bが助かるのに「Bは処刑される」と言うのは矛盾するのでNG
Cが助かる(＝確率1/3)
→Ｂが助かる場合と同じく「Bが処刑される」と言うしかない
そして、次に考えるのは【看守が「Bが処刑される」と言う確率】
- Aが助かる ＋ 看守がBと答える確率：1/3 × 1/2 = 1/6
- Cが助かる ＋ 看守がBと答える確率：1/3 × 1 = 1/3
→Cが助かる場合、Bと答えるしかないのは前述のとおり
最後に【看守が「Bが処刑されると言った」という条件のもとでAが助かる確率】
式： 1/6÷(1/6+1/3)＝1/3
この式を分解していきましょう。
分母：（1/6 + 1/3）について
これは看守が「Bが処刑される」と言う確率全体を示します。
①Aが助かるケース(1/3)かつBと答える確率(1/2)
つまり、1/3 × 1/2 = 1/6。
②Cが助かるケース(1/3)かつBと答える確率(1)
つまり、1/3 × 1 = 1/3。
分子：（1/6）について
これは「Aが助かる」場合に、看守が「Bが処刑される」と言う確率(上述①)。
つまり「Aが助かる ＋ 看守がBと言う」ケースの確率を
「Ｂが処刑されると看守が答える確率全体」で割ると、
Ａが助かる確率(＝1/3)が分かる、というわけですね。
結論
囚人Aの助かる確率は看守の答えに関わらず、最初からずっと1/3のまま。
看守の情報は一見すると「選択肢が減った」ように見えますが、
情報提供の仕方に偏りがあるためにAの確率は更新されません。
ちなみに・・・
この問題は「モンティ・ホール問題」の考え方と似ているそうです。
モンティ・ホールとは、アメリカで人気だった番組MCの名前で、
番組内で出題される以下の問題の考え方を指した言葉として用いられます。
問題の内容はざっくりこんな感じ。
3つのドアがあり、1つのドアの先には高級車がある。
挑戦者は一つのドアを選び、その後モンティ(司会者)がはずれのドアを一つ開ける。
そして「最初に選んだドアのままにするか、もう1つのドアに変えるか」聞かれます。
さて、挑戦者はドアを変えるべきでしょうか？
変えたところで当たりの場所は変わらないし・・・なんて思いますか？
答えは、変えた方が当たる確率が上がるので「変えるべき」になります。
○最初に選んだドアに当たりがある確率：1/3
○残り2つのドアに当たりがある確率：2/3
→ そのうち外れをモンティが除くので、残りのドアに当たりがある確率は2/3
これで変えて最初に選んだ方に当たりがあったら悔しいので
確率よりも自分の直感を信じるかどうかの方が重要な気がします(笑)
ともあれ、見かけの直感と実際の確率が逆になるこれらの問題、
みなさんはすんなり納得出来たでしょうか。
